Question

20．如图，点A，点B在以点O为圆心的圆上，且∠AOB=30°，如果甲机器人从点A出发沿着圆周按顺时针方向以每秒5°的速度行驶，乙机器人从点B出发沿着圆周按逆时针方向行驶，速度是甲机器人的2倍，经过一段时间后，甲、乙分别运动到点C，点D，当乙机器人第一次到达点B时，甲、乙同时停止运动．
（1）当射线OB是∠COD的角平分线时，求出∠AOC的度数．
（2）在机器人运动的整个过程中，若∠COD=90°，求甲机器人运动的时间（要求，在备用图中画出图形）．

Answer 1

分析 （1）根据机器人的运动速度，设∠AOC=x°，则∠BOD=2x°，根据角平分线的定义，列出方程即可解答；
（2）根据运动过程中，∠COD=90°，可以分三种情况讨论，从而列出方程，解答即可．

解答 解：（1）甲机器人的运动速度每秒为5°，乙机器人的运动速度为每秒10°，
设∠AOC=x°，则∠BOD=2x°，
∵OB是∠COD的平分线，
∴∠BOC=∠BOD=x+30°，
∵∠BOD=2x°，
∴2x=30+x，解得：x=30°．

（2）分三种情况讨论：
①当OC，OD运动到如图1所示的位置时，

设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，
∵∠COD=90°，∠AOB=30°，
∴5t+30+10t=90，解得：t=4；
②当OC，OD运动到如图2所示的位置时，

设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，
∵∠COD=90°，∠AOB=30°，
∴5t+30+10t+90=360，解得：t=16；
③当OC，OD运动到如图3所示的位置时，

设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，
∵∠COD=90°，∠AOB=30°，
∴5t+30+10t-90=360，解得：t=28；
答：在机器人运动的整个过程中，若∠COD=90°，甲运动的时间分别为4秒，16秒，28秒．

点评 本题主要考查角的运算中的动点问题及一元一次方程的应用，解决第（2）小题的关键是能考虑到各种满足∠COD的情况．