Question

17．如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求△BCM的面积；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）代入y=ax ²+bx+c，解方程组即可．
（2）由抛物线y=x²-2x-3可知顶点M（1，-4）．作MD⊥x轴于D，连结BC、CM、BM、OM．根据S_△BCM=S_△MOC+S_△OBM-S_△OBC计算即可．
（3）分两种情形讨论即可①当Q点在x轴下方时，作QE⊥x轴于E．②当Q₁点在x轴上方时，作Q₁F⊥x轴于F，分别求出点Q的纵坐标，转化为方程解决问题．

解答 解：（1）将A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）代入y=ax ²+bx+c，
得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$
解得a=1，b=-2，c=-3；
∴y=x ²-2x-3．

（2）由抛物线y=x²-2x-3=（x-1）²-4，可知顶点M（1，-4）．作MD⊥x轴于D，连结BC、CM、BM、OM．

∵S_△BCM=S_△MOC+S_△OBM-S_△OBC，
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×3×3=3．

（3）存在．

①当Q点在x轴下方时，作QE⊥x轴于E
∵AC∥PQ且AC=PQ∴OC=EQ=3
∴-3=x²-2x-3解得：x₁=0（舍），x₂=2
∴Q（2，-3）
②当Q₁点在x轴上方时，作Q₁F⊥x轴于F
∵AC∥P₁Q₁且AC=P₁Q₁
由Rt△OAC≌Rt△FP₁Q₁，
∴OC=FQ₁=3
∴3=x²-2x-3解得：x=1$±\sqrt{7}$，
∴Q₁坐标为（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3），
综上，满足条件的Q点为（2，-3）或（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3），

点评 本题考查二次函数综合题、三角形面积、平行线的性质．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用分割法求三角形的面积，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．