题目内容
4．
如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且AB=AC．点B到x轴的距离为3．（1）求点B的坐标；
（2）点P为射线CB上一点，过点P作PE垂直AC于E，点P到AB的距离为d，求PE与d的数量关系；
（3）在（2）的条件下，当d=1时，点Q在C的右侧且Q（4，0），过点Q作x轴的垂线m，连接PQ，过点E作PQ的垂线交PQ于点K并延长，交直线m于第一象限内的点F，当PQ×EK=20时，求点P的坐标．
分析 （1）根据y轴上点的坐标特征和点B到x轴的距离为3，可求B的坐标；
（2）如图1所示：过点B作BN⊥PE，垂足为N．先证明∠PNB=∠M，∠PBM=∠PBN，然后依据AAS证明△PNB≌△PMB，于是得到PM=PN，从而可证得PE-d=3．如图2所示：过点B作x轴的线，交EP的延长线与点N；先证明∠PMB=∠N，∠MBP=∠NBP，依据AAS证明△MPB≌△NPB，从而得到PM=PN，故此可证得PE+d=3．综上所示，当点P在线段BC上时，PE+d=3，当点P在CB的延长线上时，PE-d=3；
（3）如图3所示：由PE-d=3，d=1，可求得PE=4，由PE•EQ=PQ•EK=20，可求得：QE=5，从而求得点Q的坐标为（4，0），故此点P的坐标为（-1，4）；如图4所示：由PE+d=3，d=1，可知PE=2，从而可求得：QE=10，从而得到点P的坐标为（-6，2），因为当点P在BC时，点P在y轴右侧，横坐标大于0，故此种情况不成立．
解答 解：（1）∵点B到x轴的距离为3，
∴点B的纵坐标为3．
∵点B在y轴上，
∴点B的横坐标为0．
∴点B的坐标为（0，3）．
（2）如图1所示：过点B作BN⊥PE，垂足为N．
∵BN⊥PE，PM⊥AB，
∴∠PNB=∠M．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵NB⊥PE，PE⊥OE，
∴NB∥OE．
∴∠PBN=∠BCA．
又∵∠PBM=∠ABC，
∴∠PBM=∠PBN．
在△PNB和△PMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PNB=∠M}\\{∠PBM=∠PBN}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△PNB≌△PMB．
∴PM=PN．
∴PE-PM=PE-PN=EN=OB=3．
∴PE-d=3．
如图2所示：过点B作x轴的线，交EP的延长线与点N．
∵BN∥x轴，PE⊥x轴，
∴∠N=90°．
∵PM⊥AB，
∴∠PMB=∠N．
∵NB∥OC，
∴∠NBC=∠BCO．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA．
∴∠MBP=∠NBP．
在△MPB和△NPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMB=∠N}\\{∠MBP=∠NBP}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△MPB≌△NPB．
∴PM=PN．
∵PE+PN=3，
∴PE+d=3．
综上所示，当点P在线段BC上时，PE+d=3，当点P在CB的延长线上时，PE-d=3．
（3）如图3所示：
∵点P在CB的延长线上，
∴PE-d=3．
又∵d=1，
∴PE=4．
∵$\frac{1}{2}$PE•EQ=$\frac{1}{2}$PQ•EK，
∴PE•EQ=PQ•EK=20．
∴4EQ=20．
解得：QE=5．
∵点Q的坐标为（4，0），
∴点P的坐标为（-1，4）．
如图4所示：
∵点P在CB上，
∴PE+d=3．
又∵d=1，
∴PE=2．
∵$\frac{1}{2}$PE•EQ=$\frac{1}{2}$PQ•EK，
∴PE•EQ=PQ•EK=20．
∴2EQ=20．
解得：QE=10．
∵点Q的坐标为（4，0），
∴点E的坐标为（-6，0）．
∴点P坐标为（-6，2）．
∵点P在BC上，故横坐标大于0，
∴此种情况不成立．
综上所述，点P的坐标为（-1，4）．
点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、三角形的面积公式的应用，证得△MPB≌△NPB从而得到PE与d的关系，然后由PE于d的关系求得PE的长，然后利用面积法求得QE的长是解题的关键．
轻松课堂单元期中期末专题冲刺100分系列答案| A． | 抛物线的开口向下 | |
| B． | 对称轴为直线x=1 | |
| C． | 顶点坐标为（-1，3） | |
| D． | 此抛物线是由y=-$\frac{1}{2}$x2+3向左平移1个单位得到的 |
正方形ABCD中，∠EAF=45°．求证：EF=BF+DE．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=1，△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A、点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（ ）| A． | 3 | B． | 2$\sqrt{3}$ | C． | 4 | D． | 4$\sqrt{3}$ |