Question

5．在⊙O中，弦AC⊥BD，垂足为P．过点P的直线和AB垂直于H，交CD于M．求证：MC=MD．

Answer 1

分析 根据余角的性质得到∠DPM=∠BPH，∠BPH=∠A，由圆周角定理得到∠A=∠D，等量代换得到∠MPD=∠D，根据等腰三角形的判定求得PM=DM，PM=CM，即可得到结论

解答 证明：∵AC⊥BD，PH⊥AB，
∴∠APB=∠DPC=∠AHP=∠BHP=90°，
∵∠DPM=∠BPH，
∵∠A+∠APH=∠APH+∠BPH=90°，
∴∠BPH=∠A，
又∵∠A=∠D，
∴∠MPD=∠D，
∴PM=DM，
又∵∠CPM+∠DPM=∠C+∠PDM=90°，
∴∠MPC=∠C，
∴PM=CM，
∴CM=DM．

点评 本题考查了圆周角定理，垂直的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．