Question

16．问题背景：数学活动课上老师出示问题，如图1，有边长为a的正方形纸片一张，三边长分别为a、b、c的全等直角三角形纸片两张，且b$＜\frac{a}{2}$．请你用这三张纸片拼出一个图案，并将这个图案的某部分进行旋转或平移变换之后，提出一个问题（可以添加其他条件，例如可以给出a、b的值等等）．
解决问题：
下面是两个学习小组拼出图案后提出的问题，请你解决他们提出的问题．
（1）“爱心”小组提出的问题是：如图2，将△DFC绕点F逆时针旋转，使点D恰好落在AD边上的点D′处，猜想此时四边形AEFD′是什么特殊四边形，并加以证明；
（2）“希望”小组提出的问题是：如图3，点M为BE中点，将△DCF向左平移至DF恰好过点M时停止，且补充条件a=6，b=2，求△DCF平移的距离．
自主创新：
（3）请你仿照上述小组的同学，在下面图4的空白处用实线画出你拼出的图案，用虚线画出变换图，并在横线处写出你提出的问题．（不必解答）
你提出的问题：当a=6，b=2时，点M，N分别为AD，BC中点，将△MNF沿CB方向移动，使点M落在点A处时，在AB上，AF′交ME于G，求△GEF的面积．．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得结论判断出四边形GFCD为矩形，然后用平行且相等判断出四边形AEFD′是平行四边形；
（2）先判断出△BMF为直角三角形，再根据勾股定理求出BE，判断出△BMF′∽△BCE，用比例式计算即可．
提出的问题：当a=6，b=2时，点M，N分别为AD，BC中点，将△MNF沿CB方向移动，使点M落在点A处时，在AB上，AF′交ME于G，求△GEF的面积，
用平移得特征得EH=F′H=$\frac{1}{2}$EF′=$\frac{1}{2}$，在用三角形的面积公式计算．

解答 证明：（1）作FG⊥AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠C=90°，AD∥BC，
∴四边形GFCD是矩形，
∴GD=FC=b，
∴FD=FD′，
∴D′G=DG=b，
∴AD′=AD-2DG=a-2b，
∵BE=FC=b，
∴EF=BC-2FC=a-2b，
∴AD′=EF，
∵AD′∥EF，
∴四边形AEFD′是平行四边形，

（2）由平移知，∠C′D′F′=∠CDF=∠EBC，
∵∠C′D′F′+∠BF′M=90°，
∴∠MBF′+∠BF′M=90°，
∴∠BMF′=90°，
由勾股定理得，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+E{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵点M为BE中点，
∴BM=$\sqrt{10}$，
∵∠BMF′=∠BCE，∠MBF′=∠CBE，
∴△BMF′∽△BCE，
∴$\frac{BM}{BC}=\frac{BF′}{BE}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{6}=\frac{BF′}{2\sqrt{10}}$，
∴BF′=$\frac{10}{3}$，
∵BF=BC+CF=8，
∴F′F=BF-BF′=$\frac{14}{3}$，
∴△DCF平移得距离为$\frac{14}{3}$；

提出的问题：
当a=6，b=2时，点M，N分别为AD，BC中点，将△MNF沿CB方向移动，使点M落在点A处时，在AB上，AF′交ME于G，求△GEF的面积
如图，

∵MN=BC=b=6，NF=BF′=a=2，
∴FC=BE=F′N=1，
∴EF′=1，
∴EH=F′H=$\frac{1}{2}$EF′=$\frac{1}{2}$，
∵GH∥AB，
∴$\frac{F′H}{BF′}=\frac{GH}{AB}$
∴$\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{GH}{6}$，
∴GH=$\frac{3}{2}$，
∴S△GEF′=$\frac{1}{2}$×EF′×GH=$\frac{3}{4}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平移得性质，解本题的关键是判断△BMF是直角三角形．