题目内容

已知：如图，在边长为2的等边三角形△ABC中，点P以每秒1个单位从C向B运动，运动时间为t秒，且PQ=1，过P、Q点分别向BC作垂线，垂足分别为P、Q，交AC、AB于M、N，连接MN；
（1）当t为何值时，四边形MPQN是矩形？
（2）不管点P如何移动，四边形MPQN的面积是否改变，说明理由；
（3）当t为何值时，△CMP与△AMN相似？这时△MNP是什么类型的三角形？

【答案】分析：（1）由于四边形MPQN是矩形，所以在MPQN中PM=NQ，据此列出关于t的等式，解方程即可；
（2）不管点P如何移动，四边形MPQN的面积不发生改变，根据（1）中所求PM、QN的表达式，利用梯形面积表达式即可求出S关于t的函数关系式，通过计算为定值；
（3）根据对应点和对应边的不同，会得到不同的相似三角形，再分两种情况讨论．
解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，PM⊥CB，QN⊥CB，
∴∠B=∠C=60°，
在Rt△CPM和Rt△BQN中，
∵CP=t，BQ=1-t，
∴PM=CP•tanC=t•tan60°=

t，
QN=BQ•tanB=（1-t）tan60°=

（1-t），
∵四边形MPQN是矩形，
∴PM=NQ，
即：

（1-t），
解得：t=

；

（2）不管点P如何移动，四边形MPQN的面积不发生改变，理由如下：
由（1）可知：PM=CP•tanC=t•tan60°=

t，QN=BQ•tanB=（1-t）tan60°=

（1-t），
∴S_四边形MPNQ=

×1×[

（1-t）]=

；
∴不管点P如何移动，四边形MPQN的面积不发生改变；

（3）∵△CMP是Rt△，且∠CPM=90°，∠C=60°，△AMN中∠A=60°，
若使△CMP与△AMN相似，对应的顶点只能是：C→A，P→N，M→M或C→A，P→M，M→N，
①当C→A，P→N，M→M时，由△CMP∽△AMN得：
∵CM=2t，BN=2（1-t）

，
∴AM=2-2t，AN=2-2（1-t）=2t，
∴

，
解得：t=

；
②当C→A，P→M，M→N时，由△CMP∽△ANM得：

，
∴

，解得：t=

，
综合，所求t=

或

时△CMP与△AMN相似，
当t=

时，都有AM=CP=BN，AN=CM=BP，
且∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ANM≌△CMP≌△BPN，
∴NM=MP=PN，即△MNP是等边三角形．
点评：本题考查了等边三角形的性质以及判定、特殊角的锐角三角函数值、矩形的性质、相似三角形的判定和性质，此题是一道动点问题，解题的关键是充分利用相似三角形的性质和矩形的性质列出关于t的等式解答．