Question

2．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点A作AD⊥BC于点D，点E为线段AB中点，连接ED，EC将△EDC绕点E旋转，使点D和点B重合，得到△EBF，延长FB、CE相交于点G，若BC=$\sqrt{5}$，则BG=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 如图，由此CA交FG的延长线于P，作AH∥GE交PF于H．首先证明BP=BC=$\sqrt{5}$，再证明BG=GH=PH即可解决问题．

解答 解：如图，由此CA交FG的延长线于P，作AH∥GE交PF于H．

∵△EBF是由△EDC旋转所得，
∴∠EDC=∠EBF，
∵∠ABP+∠EBF=180°，∠EDB+∠EDC=180°，
∴∠ABP=∠EDB，
∵AD⊥BC，EB=AE，
∴∠ADB=90°，DE=EB=AE，
∴∠EDB=∠EBD=∠ABP，
∵∠ABP+∠P=90°，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠P=∠BCA，
∴PB=BC=$\sqrt{5}$，AP=AC，
∵BE=AE，EG∥AH，
∴BG=GH，
∵AH∥CG，PA=AC，
∴PH=GH=BG，
∴BG=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故答案为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查旋转变换、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定和性质等角的余角或补角相等等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．