Question

7．数学课上，李老师出示了如下题目：在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图所示，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB中点时，如图①，请你确定AE与DB的大小关系，并说明理由．
（2）特例启发，解决问题
当点E是AB上任一点时，AE与DB的大小关系是：AE=DB．
理由如下：如图②，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
已知等边三角形ABC的边长为1，AE=2，且ED=EC．（请你直接写出下列结果）
①若点E在边AB的延长线上，点D在边CB的延长线上，则CD=3
②若点E在边BA的延长线上，点D在边BC的延长线上，则CD=1．

Answer 1

分析 （1）当E为中点时，过E作EF∥BC交AC于点F，则可证明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；
（2）类似（1）过E作EF∥BC交AC于点F，可利用AAS证明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再证明△AEF是等边三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；
（3）如图（4）或（5），作辅助线，证明△BDE≌△FEC，得到BD=EF；求出EF的长度，即可解决问题

解答 解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠EFC}\\{∠EDB=∠FEC}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD．
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠EFC}\\{∠EDB=∠FEC}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（3）如图4，当点E在AB的延长线上时，
过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F；

则∠DCE=∠CEF，∠DBE=∠AEF；
∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠AFE；
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠EFC；而ED=EC，
∴∠D=∠DCE，∠D=∠CEF；
在△BDE与△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CEF}\\{∠DBE=∠EFC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF；
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=EF=2，BD=EF=2，
∴CD=1+2=3；
故答案为：3；
②如图5，当点E在BA的延长线上时

过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F；
类似上述解法，同理可证：DB=EF=2，BC=1
∴CD=2-1=1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定，利用全等得到BD=EF，再找EF和AE的关系是解题的关键．