Question

【题目】如图1，，都是等腰直角三角形，，，，且，点在上，连接，．

　　　　　

（1）如果；

①求的值；

②若，是关于的方程的两根，求；

（2）如图2，将绕点逆时针旋转．

①在上方，与、、同一平面内找一点，使四边形的面积四边形与四边形的面积四边形相等，并简要说明寻找点的作法；

②若四边形，直接写出的长 ．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）①说明寻找点F的作法见解析；②．

【解析】

（1）①延长交于，根据勾股定理建立等式即可求出答案；

②由根与系数的关系求出a+b及ab，利用①即可用m分别表示a与b，再整理求出m即可得到答案；

（2）①取的中点，连接并延长至，连接、、、，则四边形为平行四边形，且CF∥DE，且CE∥DF，根据平行四边形的性质得到，即可证得结论；

②利用平行四边形的性质根据SAS证明，得到为等腰直角三角形，根据四边形，求出即可求出答案.

（1）解：①如图1，延长交于，

，，

在中由勾股定理得，，

又∵，

∴，

∴或，

又∵，

∴；

②由根与系数的关系，，

由，，

解得，，

∴，

整理得，，

解得，，

∵，

∴，

当时，方程为，这个方程有两个不相等的正根，

∴符合题意，

∴；

（2）解：①如图2，取的中点，连接并延长至，使OE=OF，连接、、、，则四边形为平行四边形，且CF∥DE，且CE∥DF，

∴

∴四边形四边形；

②∵CE∥DF，

∴∠EFC=∠DEF=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠BCF+∠BAF=∠BAF+∠BAE=180°，

∴∠BCF=∠BAE，

∵CF=DE=AE，BC=BA，

∴，

∴EB=FB，∠ABE=∠CBF,

∴∠EBF=90°，

∴为等腰直角三角形，

∵四边形，

∴，

∴．

∴．