Question

【题目】如图，在中，，，点为边上的一个动点（点不与点、点重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点.

（1）求证：；

（2）当平分时，求的长；

（3）当是等腰三角形时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）当是等腰三角形时，的长11或或

【解析】

（1）根据题意证明即可求解；

（2）根据平分得到，再根据得到得到，从而得到，即可求解；

（3）过点作，垂足为，根据三线合一得到，由勾股定理得出，再得到，设，则，，根据得到，再分①点在线段的延长线上， ②点在线段上，当是等腰三角形进行讨论求解.

（1）证明：

即

（2）平分，

又是公共角，

（3）过点作，垂足为

由勾股定理得出，

设，则，，

①点在线段的延长线上，当是等腰三角形时，存在以下三种情况：

1.，则

2.，则

3.，则

②点在线段上，当是等腰三角形时，

是一个钝角

只存在这种可能，则

，不符合题意，舍去

综上所述，当是等腰三角形时，的长11或或.