Question

3．根据所给条件求抛物线的解析式：
（1）抛物线过点（0，2）、（1，1）、（3，5）
（2）抛物线图象过点（-1，0）、（3，0），其最大值为3．

Answer 1

分析 （1）设一般式y=ax²+bx+c，然后把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，再解方程组即可；
（2）先根据抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（1，3），再设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把顶点坐标代入求出a即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a+b+c=1}\\{9a+3b+c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=x²-2x+2；
（2）∵抛物线图象过点（-1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（1，3）代入得a•2•（-2）=3，解得a=-$\frac{3}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3）=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．