题目内容
8．
如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连结AB．若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“邻近点”．（1）判断点D（$\frac{7}{5}$，$\frac{19}{5}$），是否线段AB的“邻近点”是（填“是”或“否”）；
（2）若点H （m，n）在一次函数y=x-1的图象上，且是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围；
（3）若一次函数y=x+b的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b的取值范围．
分析 （1）根据A、B的坐标得出AB∥x轴，根据点P到直线AB的距离≤1，求出当横坐标2≤x≤6纵坐标2≤y≤4范围内时，点是线段AB的“临近点”，看点的纵坐标是否在y的范围内即可以及在A点的左边到A点的距离≤1，或在B点的右边到B点的距离≤1，点是线段AB的“临近点”；
（2）先求得直线y=x-1与线段AB交于（4，3），然后分两种情况讨论：①当m≥4时，根据线段AB的“临近点”的纵坐标的范围是2≤n≤4，把n=2和n=4分别代入n=m-1，求出相应的m值，即可得出点的横坐标m的范围；
（3）如图，分别求得N1、N2的坐标，然后根据待定系数法分别求得横坐标为2，纵坐标为3+$\sqrt{2}$或横坐标为6，纵坐标为3-$\sqrt{2}$时，直线y=x+b的b值，依此可求b的取值范围．
解答 
解：（1）点D是线段AB的“邻近点”；
∵AD=$\sqrt{（2-\frac{7}{5}）^{2}+（3-\frac{19}{5}）^{2}}$=1，
∴D（$\frac{7}{5}$，$\frac{19}{5}$）是线段AB的“临近点”．
故答案为：是；
（2）如图1，∵点H（m，n）是线段AB的“邻近点”，点H（m，n）在直线y=x-1上，
∴n=m-1；
直线y=x-1与线段AB交于（4，3）
①当m≥4时，有n=m-1≥3，
又AB∥x轴，
∴此时点H（m，n）到线段AB的距离是n-3，
∴0≤n-3≤1，
∴4≤m≤5，
②当m≤4时，有n=m-1，
∴n≤3，
又AB∥x轴，
∴此时点H（m，n）到线段AB的距离是3-n，
∴0≤3-n≤1，
∴3≤m≤4，
综上所述，3≤m≤5；
（3）①如图2，
有直线y=x+b可知∠AN1H=45°，
∵PH=1，
∴AN1=$\sqrt{2}$，
∴N1（2，3+$\sqrt{2}$），
把横坐标2，纵坐标3+$\sqrt{2}$代入直线y=x+b，可得3+$\sqrt{2}$=2+b，解得b=$\sqrt{2}$+1；
②如图3，
同理证得N2（6，3-$\sqrt{2}$），
把横坐标6，纵坐标3-$\sqrt{2}$代入直线y=x+b，可得3-$\sqrt{2}$=6+b，解得b=-$\sqrt{2}$-3；
故b的取值范围为-$\sqrt{2}$-3≤b≤$\sqrt{2}$+1．
点评 本题考查了一次函数综合题，涉及两点间的距离公式，待定系数法求直线解析式，等腰直角三角形的性质等，通过做此题培养了学生的分析问题和解决能力，此题是一道非常好、比较典型的题目．
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