Question

9．如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
（1）连接BE，CD，求证：BE=CD；
（2）如图2，作DP∥BC交EA于D′，交EC于P．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′≌△CPD′？并给与证明．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“边角边”证明△BAE和△DAC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等，根据等边三角形的性质和平行线的性质得到四边形ABDD′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，根据等边三角形的性质求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′=∠ACD′=30°，从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等．

解答 （1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形．
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE=CD；

（2）解：当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．
∵∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=180°-60°×2=60°，
∵DP∥BC，
∴∠D′DA=∠DAB=60°，
∴△ADD′是等边三角形，
∴AB=BD=DD′=AD′，
∴四边形ABDD′是菱形，
∴∠ABD′=∠DBD′=$\frac{1}{2}$∠ABD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵△ACE是等边三角形，
∴AC=AE，∠ACE=60°，
∵AC=2AB，
∴AE=2AD′，
∴∠PCD′=∠ACD′=$\frac{1}{2}$∠ACE=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
又∵DP∥BC，
∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°，
在△BDD′与△CPD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBD′=∠PCD′}\\{BD′=CD′}\\{∠BD′D=∠PD′C}\end{array}\right.$，
∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，菱形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．