Question

6．如图，△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O为坐标原点，∠BAO=30°，点B的坐标为（-1，0），在y的正半轴上找到一点P，使△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为（0，2+$\sqrt{3}$）或（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 通过解直角三角形OAB求得点A的坐标．然后由等腰三角形的性质来求点P的坐标：分AB=AP和PB=AP两种情况．

解答 解：如图，∵点B的坐标为（-1，0），
∴OB=1．
又∵∠BAO=30°，
∴AB=2，OA=$\sqrt{3}$，
∴A（0，$\sqrt{3}$），
①当AB=AP时，点P的坐标为（0，2+$\sqrt{3}$）；
②当PB=AP时，设P（0，a），则
（0+1）²+a²=（a-$\sqrt{3}$）²，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则点P的坐标为（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为（0，2+$\sqrt{3}$）或（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
故答案是：（0，2+$\sqrt{3}$）或（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查了坐标与图形的性质，等腰三角形的判定．解题中利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．