Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AD=6，DC=4

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，∠C=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿C→D→A运动，在CD上的速度为每秒

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个单位长度，在DA上的速度为每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点是另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）求BC的长．
（2）当四边形ABMN是平行四边形时，求t的值．
（3）试探究：t为何值时，△ABM为等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）首先过A、D作AE⊥BC，DF⊥BC于点E，F，求出BE，EF，FC，进而得出BC的长；
（2）由题意，点N必在DA上，且BM=AN，四边形ABMN是平行四边形，进而求出即可；
（3）根据当BA=BM时，当AB=AM时，当MA=MB时分别求出t的值即可．

解答：解：（1）分别过A、D作AE⊥BC，DF⊥BC于点E，F，
∵DC=4

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，∠C=45°，
∴DF=CDsin45°=4，
∴DF=FC=AE=4，
∴BE=

AB2-AE2

=

52-42

=3，
EF=AD=6，
∴BC=BE+EF+FC=3+6+4=13；

（2）如图2，由题意，点N必在DA上，且BM=AN，
当t秒时，BM=t，在CD上运动需要4秒，则AN=6-DN=6-（4-t）
∴t=6-（t-4）
解得：t=5，
当四边形ABMN是平行四边形时，t的值为5；

（3）当BA=BM时，∵AB=5，
∴AB=BM=5，∵点M从B点出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，
则t=5；
当AB=AM时，由（1）得出BE=3，
∴BE=EM=3，
∴BM=6，则t=6；
当MA=MB时，由BM²=EM²+AE²，
∴t²=（t-3）²+4²，
解得：t=

25

6

．
综上所述：t为5，6，

25

6

时，△ABM为等腰三角形．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及等腰三角形的性质与判定和勾股定理的应用等知识，利用分类讨论得出是解题关键．