Question

已知一个五位数

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abcde

满足三个条件：①它的各位数字均不相同且不为零；②它是一个完全平方数；③它的万位上的数字a是一个完全平方数，千位和百位上的数字顺次构成的两位数

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bc

以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数

.

de

也都是完全平方数．那么满足上述条件的五位数是

 

．

Answer 1

考点：完全平方数

专题：

分析：首先设M²=

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abcde

，且a=m²（一位数），

.

bc

=n ²（两位数），

.

de

=t²（两位数），则M²=m²×10⁴+n²×10²+t²①，又由M²=（m×10²+t）²=m²×10⁴+2mt×10²+t²②，可求得n²=2mt．继而可分析求得n²的值，继而求得答案．

解答：解：设M²=

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abcde

，且a=m²（一位数），

.

bc

=n ²（两位数），

.

de

=t²（两位数），
则M²=m²×10⁴+n²×10²+t²①，
∵它是一个完全平方数，
∴由式①知：M²=（m×10²+t）²=m²×10⁴+2mt×10²+t²②
比较式①、式②得：n²=2mt．
∵n²是2的倍数，
∴n也是2的倍数，
∴n²是4的倍数，且是完全平方数．
故n²=16或36或64．
当n²=16时，得mt=8，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，
∵它的各位数字均不相同且不为零，
∴都不合条件，舍去．
当n²=36时，得mt=18．则m=2，3，1，t=9，6，18．
∵它的各位数字均不相同且不为零，
∴M²=43681．
当n²=64时，得mt=32．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4，
它的各位数字均不相同且不为零，
∴都不合条件，舍去．
满足条件的五位数为43681．
故答案为：43681．

点评：此题考查了完全平方数的知识．此题难度较大，注意设M²=

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abcde

，且a=m²（一位数），

.

bc

=n ²（两位数），

.

de

=t²（两位数），根据题意求得n²=2mt是解此题的关键．