Question

如图，在正方形ABCD中，从点A引两条射线?₁，?₂，分别过点B、D作?₁，?₂的垂线，垂足为B₁，B₂，D₁，D₂，连接B₁B₂、D₁D₂．试探求B₁B₂与D₁D₂之间数量的关系，并说明理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：本题中B₁B₂=D₁D₂，根据正方形的性质和垂直的定义以及利用同角的余角相等即可证明△DD₁A≌△AB₁B，同理再证明△DD₂A≌△AB₂B，进而证明B₁B₂=D₁D₂．

解答：答：B₁B₂=D₁D₂，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵从点A引两条射线?₁，?₂，分别过点B、D作?₁，?₂的垂线，垂足为B₁，B₂，D₁，D₂，
∴∠DD₂A=∠DD₁A=∠BB₁A=∠BB₂A=90°，
∴∠2+∠DAD₁=90°，
∵∠5+∠DAD₁=90°，
∴∠2=∠5，
在△DD₁A和△AB₁B中，

AD=AB ∠2=∠5 ∠DD 1A=∠BB 1A=90°

，
∴△DD₁A≌△AB₁B，
∴AD₁=BB₁，∠DAD₁=∠ABB₁，
同理可证：△DD₂A≌△AB₂B，
∴AD₁=BB₂，∠DAD₂=∠1，
∵∠DAD₁=∠DAD₂+∠D₂AD₁，∠ABB₁=∠1+∠4，
∴∠D₂AD₁=∠4，
在△DD₁A和△AB₁B中中，

AD 1=BB 1 ∠D 2AD 1=∠4 AD 2=BB 2

，
∴△DD₁A≌△AB₁B，
∴B₁B₂=D₁D₂．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质以及垂直得到90°的角和同角的余角相等这一规律，题目的难点在于证明两步全等．