Question

如图，在直角坐标系中，O₁（3，0），A（-2，0），以O₁为圆心，O₁A为半径的⊙O₁交y轴于C、D两点，P为弧BC上一点，CQ平分∠DCP，交AP于点Q，则AQ的长为（　　）

• A、2

  5

• B、4
• C、5
• D、3

  3

Answer 1

考点：垂径定理,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：先连接AC，由A、O₁的坐标可得出OA、OO₁以及O₁A的值，再在Rt△OCO₁中，OC=4，从而求出点C的坐标，根据圆周角推论，等弧所对的圆周角相等，可得：∠ACD=∠P，又CQ平分∠OCP，可得：∠PCQ=∠OCQ，故：∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P，即∠ACQ=∠AQC，所以AQ=AC，再根据勾股定理求出AC的值即可．

解答：解：连接O₁C．
由A（-2，0），O₁（3，0）可知，
OA=2，OO₁=3，O₁A=，5，
在Rt△OCO₁中，OC=4，
∴点C的坐标是（0，4），
由垂径定理知：AC=AD，
∴∠P=∠ACD，
∵CQ平分∠DCP，
∴∠P+∠PCQ=∠ACD+∠DCQ，
即：∠ACQ=∠AQC，
∴AQ=AC．
OA=2，
∴AQ=AC=

22+ 42

=2

5

．
故选A．

点评：本题考查垂径定理的应用．解此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．