题目内容

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD= $数学公式$ ，BC=5，点E在BD上，且∠BAE=∠DBC．设BD=x，AD=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．

解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=DBC，
∵∠BAE=∠DBC，
∴∠BAE=∠BDA，…
∵∠ABE是公共角，
∴△BAE∽△BDA，…
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又AB= $\text{[math]}$ ，BD=x，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BE= $\text{[math]}$ ，…
∴DE=x- $\text{[math]}$ ，…
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠BAD=∠CDA，又∠BAE=∠BDA，
∴∠BAD-∠BAE=∠CDA-∠BDA，即∠EAD=∠CDB，…
又∵∠ADE=∠DBC，
∴△DAE∽△BDC，…
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又BD=x，AD=y，BC=5，DE=x- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，…
∴y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x²-2．…
定义域为5- $\text{[math]}$ ＜x＜5+ $\text{[math]}$ ，且x≠ $\text{[math]}$ ．…
分析：由AD与BC平行，根据两直线平行内错角相等可得出一对角相等，再由已知的两角相等，利用等量代换可得出∠BAE=∠BDA，再由∠ABE为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得出三角形ABE与三角形BDA相似，根据相似得比例，将AB的值，及BD=x代入，用x表示出BE，用BD-BE表示出DE，再由梯形为等腰梯形，得到同一底上的两个角相等，由∠BAE=∠BDA，利用等式的性质得到∠EAD=∠CDB，再加上一对公共角相等，可得出三角形DAE与三角形BDC相似，由相似得比例，将BD=x，AD=y，BC的值，以及表示出的DE代入比例式，可得出y与x的关系式，并根据线段的长度大于0，梯形的上底小于下底，以及三角形的两边之和大于第三边，可得出自变量x的取值范围．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰梯形的性质，以及三角形的边角关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．