Question

3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G．下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，AG=3DG，其中不正确的结论的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据角平分线性质求出DE=DF，证△AED≌△AFD，推出AE=AF，再逐个判断即可．

解答 解：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，
∴AD平分∠EDF；③正确；
∵AD平分∠BAC，
∵AE=AF，DE=DF，
∴AD垂直平分EF，①正确；②错误，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAG=30°，
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE，AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AE，
∴DG=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AE，
∴AG=3DG，④正确．
故选A．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的判定，角平分线性质的应用，能求出Rt△AED≌Rt△AFD是解此题的关键．