Question

如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OP∥AC，且PD⊥CD，AF⊥BF交DC的延长线于H，连CG，分别交AB、AD于M、N．
（1）求证：PA为⊙O的切线．
（2）若AM=2EM，AN=

4

3

2

，OH=5，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理,垂径定理,相似三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）连接OA，欲证PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥PA即可；
（2）AM=2EM，且CM是角平分线，所以AC：CE=2：1，所以∠CAE=30°，ND：AN=2：1，从而可求AD长度，然后解直角三角形即可求得⊙O的直径．

解答：解：（1）证明：∵CD为⊙O的直径，
∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴CA⊥DA；
又∵OP∥AC，
∴OP⊥AD，
∴OP垂直平分AD（垂径定理）；
∵OA=OD（⊙O的半径），
∴∠AOP=∠DOP（等腰三角形“三线合一”）；
在△AOP和△DOP中，

AO=DO ∠AOP=∠DOP OP=OP(公共边)

，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PAO=∠PDO（全等三角形的对应角相等）；
∵PD⊥CD，
∴∠PAO=∠PDO=90°，∴OA⊥PA，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；

（2）由（1）中的AD⊥OP知，

AG

=

DG

，
∴∠ACG=∠DCG（等弧所对的圆周角相等），
∴

AC

AM

=

CE

ME

，

AC

AN

=

CD

DN

．
由∵AM=2EM（已知），
∴

CE

AC

=

1

2

，

AN

DN

=

1

2

，
∴∠CAE=30°（直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半），
∴∠ACE=60°．
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=OA=r，
∴

AC

AN

=

CD

DN

=

r

4 2 3

=

2r

3 r- 4 2 3

，
解得，r=

4 6

3

，即⊙O的半径是

4 6

3

．

点评：本题综合考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及垂径定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．