Question

已知：E是正方形ABCD内一点，且∠ECD=∠EDC=15°，求证：△ABE是等边三角形，小萍同学灵活运用全等变换，将△ECD进行旋转与翻折，使△ECD≌△FAD，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）证明：△DEF是等边三角形；
（2）证明：△ECD≌△FAE；
（3）证明：△ABE是等边三角形．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,旋转的性质

专题：

分析：（1）利用全等三角形的性质得出DE=DF，∠FDE=90°-∠FDA-∠EDC=60°，即可得出答案；
（2）利用（1）中结论得出∠AFE=360°-150°-60°=150°，进而得出DE=EF，AF=EC，即可得出答案；
（3）利用以上结论得出∠DAE=30°，进而得出AE=AB，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵∠ECD=∠EDC=15°，将△ECD进行旋转与翻折，使△ECD≌△FAD，
∴∠FDA=15°，DE=DF，
∴∠FDE=90°-∠FDA-∠EDC=60°，
∴△DEF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）；

（2）∵△DEF是等边三角形，
∴DF=EF=DE，∠DFE=∠DEF=60°，
∵DE=EC，DF=AF，
∴AF=EF，
∵∠ECD=∠EDC=15°，
∴∠DEC=150°，
∴∠DFA=150°，
∴∠AFE=360°-150°-60°=150°，
∴

DE=FE ∠DEC=∠AFE AF=EC

，
∴△ECD≌△FAE（SAS）；

（3）∵△ECD≌△FAE，△ECD≌△FAD，
∴DC=AE，∠FAE=∠EDC=∠DAF=15°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAB=60°，
∴△ABE是等边三角形．

点评：本题考查了图形的翻折变换以及全等三角的判定和等边三角形的判定等知识，熟练利用全等三角形形的性质得出对应边与对应角之间的关系是解题关键．