Question

【题目】已知：内接于，，直径交弦于点.

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接并延长交于点，弦经过点，交于点，若，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接，，，交于点，连接，，，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）连接CO，DO，求出，根据三线合一证明即可；

（2）连接OF，过点O作OQ⊥MN于点Q，OR⊥AC于点R，OT⊥AD于点T，证明Rt△EOT≌Rt△FOR，可推出AE＝CF；

（3）过点C作CK∥AD交AP的延长线于点K，过点E作EW⊥AF于点W，证△CPF≌△CPK，△CGK≌△EGA，求出DE＝2GH＝14，AC＝25＋14＝39，CR＝，再求出AW，CW的长，通过勾股定理求出EW，CE的长，推出CG的长，通过锐角三角函数求出OC的长，进一步可求出OG的长．

（1）证明：如图，连接，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，即；

（2）证明：如图，连接，过点作于点，于点，于点，则，，

∵，

∴，即，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，即；

（3）解：如图，

∵，

∴，

∴，

在四边形中，，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

过点作交的延长线点，则，，，

∵，

∴，

∴，又∵，，

∴，∴，

∴，∴，

∴，∵，，∴，∴，∴.

过点作于点，∴，∴.

在中，，

在中，，∴.

∴.

在中，，∴，∴，

∴.