Question

5．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．
（1）若∠ACB=50°，∠ABC=70°，则∠BOC=120°
（2）若∠A=40°，则∠BOC=110°
（3）若∠A=x°，试猜想∠BOC=（90+$\frac{1}{2}$x）°，并证明你的猜想的正确性．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义，即可得到∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，再根据三角形内角和定理进行计算，即可得到∠BOC的度数；
（2）根据角平分线的定义，即可得到∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，再根据三角形内角和定理进行计算，即可得到∠BOC的度数；
（3）根据角平分线的定义，即可得到∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，再根据三角形内角和定理进行计算，即可得到∠BOC的表达式．

解答 解：（1）∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（70°+50°）
=120°，
故答案为：120；
（2）∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-40°）
=110°，
故答案为：110；
（3）∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A
=90°+$\frac{1}{2}$x°，
故答案为：（90+$\frac{1}{2}$x）．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．