Question

14．如图所示，BC是圆O的直径，点A、F在圆O上，连接AB、BF．
（1）如图1，若点A、F把半圆三等分，连接OA，OA与BF交于点E．求证：E为OA的中点；
（2）如图2，若点A为弧$\widehat{BF}$的中点，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，AD与BF交于点G．求证：AG=BG．

Answer 1

分析 （1）先求出∠AOB的度数，故可判断出△OAB为等边三角形，再由A为弧BF中点可得出OA⊥BF，进而可得出结论；
（2）连接AF，AC，根据弧相等可得出∠C=∠ABF，由圆周角定理可得出∠BAC=90°，再由直角三角形的性质得出∠ABG=∠BAG，进而可得出结论．

解答 证明：（1）∵A、F为半圆三等分点，
∴∠AOB=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形．
∵A为弧BF中点，
∴OA⊥BF，
∴BE平分OA，
∴E为OA中点．

（2）连接AF，AC，
∵A为弧BF中点，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AF}$，
∴∠ABF=∠F．
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AB}$，
∴∠C=∠F，
∴∠C=∠ABF．
∵BC为圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°．
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠ABG=∠BAG，
∴AG=BG．

点评 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．