Question

如图，抛物线y=2x²-4x-1与y轴交于点A，其顶点是D，点A′的坐标是（2，2），将该抛物线沿AA′方向平移，使点A平移到点A′，则平移中该抛物线上A、D两点间的部分所扫过的面积是

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：探究型

分析：根据抛物线解析式求出点A、D的坐标，利用待定系数法求出直线A′D的解析式，过A作x轴的平行线交A′D于B，再求出点B的坐标，然后求出AB的长度，然后求出△AA′D的面积，再根据平移的性质，AD所扫过的面积是平行四边形，面积等于△AA′D面积的2倍，然后计算即可得解．

解答：解：令x=0，则y=-1，
所以，点A的坐标为（0，-1），
∵y=2x²-4x-1=2（x-1）²-3，
∴顶点D（1，-3），
设直线A′D的解析式为y=kx+b，
则

k+b=-3 2k+b=2

，
解得

k=5 b=-8

，
所以，直线A′D的解析式为y=5x-8，
当y=-1时，5x-8=-1，
解得x=

7

5

，
∴点B的坐标为（

7

5

，-1），AB=

7

5

，
S_△AA′D=S_△AA′B+S_△ABD=

1

2

×

7

5

×（2+1）+

1

2

×

7

5

×（3-1）=

7

2

，
根据平移的性质，AD扫过的面积是以AD、AA′为邻边的平行四边形，
面积=2S_△AA′D=2×

7

2

=7．
故答案为：7．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与y轴的交点坐标，抛物线顶点坐标的求解，作辅助线求出平移扫过的面积的一半，即△AA′D的面积是解题的关键．