Question

7．如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，若⊙O的半径为$\frac{5}{2}$，CD=4，则弦AD的长为（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 连结OA，OA的反向延长线交CD于E，连结OD，如图，根据切线的性质得AE⊥AB，再利用平行线的性质得AE⊥CD，则根据垂径定理得到CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=2，然后根据勾股定理，在Rt△OED中计算出OE=$\frac{3}{2}$，从而得到AE的长，然后在Rt△ADE中可计算出AD．

解答 解：连结OA，OA的反向延长线交CD于E，连结OD，如图，
∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴AE⊥AB，
∵CD∥AB，
∴AE⊥CD，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=2，
在Rt△OED中，OE=$\sqrt{O{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴AE=AO+OE=$\frac{5}{2}$+$\frac{3}{2}$=4，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故选B．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．