题目内容
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴
的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2-10x+16=0的两个根，且A点坐标为（-6，0）．（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
分析：（1）解方程x2-10x+16=0求得x1=2，x2=8，根据题意，得A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入解析式y=ax2+bx+c，列方程求a、b、c的值即可；
（2）过点F作FG⊥AB，垂足为G，由EF∥AC，得△BEF∽△BAC，利用相似比求EF，sin∠FEG=sin∠CAB=
=
，求FG，根据S=S△BCE-S△BFE求S与m之间的函数关系式；
（3）利用配方法将（2）中S与m之间的函数关系式写出顶点式，可求S有最大值时，m的值，从而确定点E的坐标和△BCE的形状．
（2）过点F作FG⊥AB，垂足为G，由EF∥AC，得△BEF∽△BAC，利用相似比求EF，sin∠FEG=sin∠CAB=
| FG |
| EF |
| 4 |
| 5 |
（3）利用配方法将（2）中S与m之间的函数关系式写出顶点式，可求S有最大值时，m的值，从而确定点E的坐标和△BCE的形状．
解答：
解：（1）解方程x2-10x+16=0得x1=2，x2=8，
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴B、C三点的坐标分别是B（2，0）、C（0，8），
将A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入表达式y=ax2+bx+8，
解得
∴所求二次函数的表达式为y=-
x2-
x+8；
（2）∵AB=8，OC=8，依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，∴AC=10．
∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．
∴
=
．即
=
．∴EF=
．
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=
．
∴
=
．∴FG=
•
=8-m．
∴S=S△BCE-S△BFE=
（8-m）×8-
（8-m）（8-m）
=
（8-m）（8-8+m）=
（8-m）m=-
m2+4m．
自变量m的取值范围是0＜m＜8．
（3）存在．理由如下：
∵S=-
m2+4m=-
（m-4）2+8，且-
＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8．
∵m=4，∴点E的坐标为（-2，0）
∴△BCE为等腰三角形．
（其它正确方法参照给分）
解：（1）解方程x2-10x+16=0得x1=2，x2=8，∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴B、C三点的坐标分别是B（2，0）、C（0，8），
将A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入表达式y=ax2+bx+8，
|
|
∴所求二次函数的表达式为y=-
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
（2）∵AB=8，OC=8，依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，∴AC=10．
∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．
∴
| EF |
| AC |
| BE |
| AB |
| EF |
| 10 |
| 8-m |
| 8 |
| 40-5m |
| 4 |
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=
| 4 |
| 5 |
∴
| FG |
| EF |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 40-5m |
| 4 |
∴S=S△BCE-S△BFE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
自变量m的取值范围是0＜m＜8．
（3）存在．理由如下：
∵S=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8．
∵m=4，∴点E的坐标为（-2，0）
∴△BCE为等腰三角形．
（其它正确方法参照给分）
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求解析式，利用相似表示相关线段，求三角形的面积，利用二次函数的性质求面积的最大值．
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