Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M₀的坐标为（1，0），将线段OM₀绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长至点M₁，使得M₁M₀⊥OM₀，得到线段OM₁；又将线段OM₁绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长至点M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到线段OM₂；如此下去，得到线段OM₃、OM₄、OM₅、…根据以上规律，线段OM₂₀₁₄的长度为（　　）

• A． （$\sqrt{2}$）²⁰¹³
• B． （$\sqrt{2}$）²⁰¹⁴
• C． （$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵
• D． （$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶

Answer 1

分析 根据点M₀的坐标求出OM₀，然后判断出△OM₀M₁是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出OM₁，同理求出OM₂，OM₃，然后根据规律写出OM₂₀₁₄即可．

解答 解：∵点M₀的坐标为（1，0），
∴OM₀=1，
∵线段OM₀绕原点O逆时针方向旋转45°，M₁M₀⊥OM₀，
∴△OM₀M₁是等腰直角三角形，
∴OM₁=$\sqrt{2}$OM₀=$\sqrt{2}$，
同理，OM₂=$\sqrt{2}$OM₁=（$\sqrt{2}$）²，
OM₃=$\sqrt{2}$OM₂=（$\sqrt{2}$）³，
…，
OM₂₀₁₄=$\sqrt{2}$OM₂₀₁₃=（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁴．
故选B．

点评 本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，读懂题目信息，判断出等腰直角三角形是解题的关键．