Question

17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M为△ABC内一点，恰好满足BA=BM，AM=CM，则∠ABM的度数为30°．

Answer 1

分析 作MD⊥AC于点D，ME⊥AB于点E．先依据等腰三角形三线合一的性质证明AD=$\frac{1}{2}$AC，然后再证明四边形ADME是矩形，从而可得到EM=$\frac{1}{2}$AC，由AC=AB=BM可得到ME=$\frac{1}{2}$BM，最后，依据特殊锐角三角函数值求解即可．

解答 解：作MD⊥AC于点D，ME⊥AB于点E．

∵MA=MC，MD⊥AC，
∴AD=CD．
∵∠AEM=∠BAC=∠MDA=90°
∴四边形ADME是矩形
∴ME=AD=$\frac{1}{2}$AC
∵AB=AC=BM
∴ME=AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BM．
∴∠ABM=30°．

点评 本题主要考查的是等腰三角形的性质、矩形的判定和性质、特殊锐角三角函数值的应用，证得ME=$\frac{1}{2}$BM是解题的关键．