如图.抛物线y=ax2+bx与x轴相交于点A(8.0).且经过原点．顶点M在第四象限.过点M作MB⊥x轴.且BM=4.点P(a.0)是线段OA上一动点.连结PM.将线段PM绕点P逆时针旋转90°得到线段PC.过点C作y轴的平行线交x轴于点N.交抛物线于点D.连结BC和MD．(1)求抛物线的解析式,(2)求点C的坐标,(3)当以点M.B.C.D为顶点的四边形是平行四边形时.求点P的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图，抛物线y=ax²+bx与x轴相交于点A（8，0），且经过原点．顶点M在第四象限，过点M作MB⊥x轴，且BM=4，点P（a，0）是线段OA上一动点，连结PM，将线段PM绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点N，交抛物线于点D，连结BC和MD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）当以点M、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

分析（1）根据题意先求得M的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）通过三角形全等求得PB=CN，BM=PN，分类讨论P在B点的左边与右边，从而求得C的坐标；
（3）分类讨论点P在OB上时、OE上时，把C的横坐标代入抛物线的解析式求得D的坐标，然后根据平行四边形的对边相等列出等式，解这个方程即可求得a的值，进而求得P的坐标．

解答解：（1）∵点A与点O关于MB对称，
∴抛物线的对称轴为x=4．
又∵MB=4，
∴M（4，-4）．
将点A和点M的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{64a+8b=0}\\{16a+4b=-4}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{4}$，b=-2．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²-2x．

（2）∵∠MPB+∠BPC=90°，∠MPB+∠PMB=90°，
∴∠CPB=∠PMB．
在△MPB和△PCN中$\left\{\begin{array}{l}{∠CPB=∠PMB}\\{∠MBP=∠CNP}\\{PC=CM}\end{array}\right.$
∴△MPB≌△PCN．
∴PB=CN，PN=BM=4
∵P（a，0），OP=a，且点P是线段OE上的动点
∴PB=CN=|4-a|，ON=|a+4|
①如图1，当点P在点B左边时，点C在x轴上方，

a＜4，4-a＞0，PB=CN=4-a，
∴C（a+4，4-a）
②如图2，当点P在点B右边时，点C在x轴下方，

a＞4，4-a＜0，
∴PB=|4-a|=-（4-a）=a-4
∴CN=a-4
∴C（a+4，4-a）
综上所述，点C坐标是C（a+4，4-a）

（3）如图1所示，当点P在OB上时，
由（2）可知点C的坐标为（a+4，4-a）．
∵四边形BMDC为平行四边形，
∴CD=BM=4．
将x=a+4代入抛物线的解析式得：y=$\frac{1}{4}$（a+4）²-2（a+4）=$\frac{1}{4}$a²-4．
∴CD=4-a-（$\frac{1}{4}$a²-4）=4，解得：a=-2+2$\sqrt{5}$或a=-2-2$\sqrt{5}$（舍去）．
∴点P的坐标为（-2+2$\sqrt{5}$，0）．
如图2所示：当点P在线段BA上时．点C的坐标为（a+4，4-a），则点D的坐标为（a+4，$\frac{1}{4}$a²-4）
∴CD=$\frac{1}{4}$a²-4-（4-a）=4．
解得：a=-2+2$\sqrt{13}$或a=-2-2$\sqrt{13}$（舍去）．
∴点P的坐标为（-2+2$\sqrt{13}$，0）．
综上所述，点P的坐标为（-2+2$\sqrt{13}$，0）或（-2+2$\sqrt{5}$，0）．