Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=3，CD=6，BE⊥BC交直线AD于点E．
（1）当点E与D恰好重合时，求AD的长；
（2）当点E在边AD上时（E不与A、D重合），设AD=x，ED=y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）问：是否可能使△ABE、△CDE与△BCE都相似？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由∠ABD=∠BDC，∠DBC=∠A，证得△ABD∽△BDC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD的长；
（2）首先作BH⊥DC，利用同角的余角相等，即可求得∠HBC=∠ABE，又由∠BHC=∠A=90°，即可得到△ABE∽△HBC，则可求得y关于x的函数关系式；
（3）分别从使△ABE、△CDE与△BCE都相似与△ABE、△CDE与△BCE都相似分析，利用相似三角形的性质，即可求得AD的长．

解答：解：（1）当点E与D重合时，由∠ABD=∠BDC，∠DBC=∠A，
得△ABD∽△BDC，则

AB

BD

=

BD

DC

，
∴BD=3

2

，
则AD=

BD2-AB2

=3．

（2）过点B作BH⊥DC交DC于点H，
则∠ABE+∠EBH=90°，∠EBH+∠HBC=90°，
∴∠HBC=∠ABE，又∠BHC=∠A=90°，
∴△ABE∽△HBC，
又AB‖CD，得HB=AD=x，HC=CD-DH=6-3=3，
∴

AE

AB

=

HC

HB

，即

x-y

3

=

3

x

，
解得y=x-

9

x

，定义域为（x＞3）．

（3）假设能使△ABE、△CDE与△BCE都相似，
①当点E在边AD上时，（如图）
易知∠EBC=∠A=∠D=90°，
考虑∠1的对应角，容易得到∠1≠∠ABE，∠1≠∠DCE，
所以必有∠1=∠2=∠3=60°，
于是在△ABE、△CDE中，易得AE=

3

，DE=2

3

，
∴AD=3

3

，
此时，BE=2

3

，CE=4

3

，BC=6，
即能使△ABE、△CDE与△BCE都相似．
②当点E在边AD的延长线上时，
∴∠EBC=∠A=∠D=90°，
∵∠1≠∠ABE，∠1≠∠DEC，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴AE=

AB

tan30°

=3

3

，DE=CD•tan30°=2

3

，
∴AD=AE-DE=

3

，
此时BE=6，CE=4

3

，BC=2

3

，
同样能使△ABE、△CDE与△BCE都相似．
∴AD=3

3

或

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．解题时要注意分类讨论思想与数形结合思想的应用．