Question

如图，已知双曲线y=

k

x

（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB和直角边AB上的点D、C，OA边在x轴上，若OD：DB=3：4，DE⊥OA，垂足为E，则
（1）OE：OA=

3：7

．
（2）△OAC的面积与△OCB的面积的比值是

9：40

．

Answer 1

分析：（1）由DBDE与BA都与x轴垂直，得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两对角相等的两三角形相似得到三角形ODE与三角形OBA相似，由OD与DB的比值求出OD与OB的比值，即可确定出OE与OA的比值；
（2）由反比例函数k的几何意义得到三角形ODE与三角形OAC面积相等，由相似三角形面积之比等于相似比得到三角形ODE与三角形OBA面积之比，设三角形OAC面积为x，列出关于x的方程，求出方程的解确定出三角形OAC与三角形OCB面积之比即可．

解答：解：（1）∵DE⊥x轴，BA⊥x轴，
∴∠DEO=∠BAO=90°，
∵∠DOE=∠BOA，
∴△DOE∽△BOA，
∴

OE

OA

=

OD

OD+DB

=

3

3+4

=

3

7

，即OE：OA=3：7；

（2）设△OAC面积为x，根据反比例函数k的意义得到三角形ODE面积为x，
∵△DOE∽△BOA，
∴三角形DOE与三角形BOA面积之比为9：49，
∴三角形BOA面积为

49

9

x，即三角形BOC面积为

49

9

x-x=

40

9

x，
则△OAC的面积与△OCB的面积的比值是9：40．
故答案为：（1）3：7；（2）9：40．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．