Question

5．如图，已知直线y=x+6的图象与x轴、y轴交于A、B两点．
（1）求点A、点B的坐标和△AOB的面积．
（2）求线段AB的长．
（3）若直线l经过原点，与线段AB交于点P（P为一动点），把△AOB的面积分成2：1两部分，求直线L的解析式．

Answer 1

分析 （1）把x=0，和y=0代入解析式y=x+6解答即可，再利用三角形的面积公式计算即可；
（2）利用两点间的距离公式计算即可；
（3）设P点的坐标为（m，m+6），然后分两种情况求得P的坐标，进而利用待定系数法即可求得直线L的解析式．

解答 解：（1）∵直线y=x+6的图象与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（0，6）B（-6，0），
∴OA=6，OB=6，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×6×6=18；
（2）∵A（0，6）B（-6，0），
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$；
（3）设P点的坐标为（m，m+6），
∴S_△POB=$\frac{1}{2}$OB•（m+6）=3（m+6），
∵把△AOB的面积分成2：1两部分，
∴S_△POB：S_△AOB=2：3或1：3，
∴$\frac{3（m+6）}{18}$=$\frac{2}{3}$或$\frac{1}{3}$，
解得m=-2或-4，
∴P（-2，4）或（-4，2），
设直线L的解析式为y=kx，
∴4=-2k或2=-4k，
解得k=-2或k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线L的解析式为$y=-\frac{1}{2}x$或y=-2x．

点评 本题考查了两条直线相交问题，三角形的面积问题，待定系数法求一次函数的解析式，注意（3）中P的坐标是两种情况．