Question

4．如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，且AB=DE，AC⊥CD，连接AE，BD，分别交CD，AC于点G，连接FG，BE．下列结论：①AE=BD=BE；②BC平分∠DBE；③直线EC⊥AB；④FG∥BE．其中正确结论的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠DCE=60°，由周角的定义得到∠BCE=150°，推出△ACE≌△BCD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到AE=BD=BE，故①正确，∠DBC=∠EBC，故②正确；根据等腰三角形的性质得到直线EC⊥AB；故③正确；根据全等三角形的性质得到BF=EG，根据等腰三角形的性质得到HF=HG，推出$\frac{HF}{FB}=\frac{HG}{HE}$，于是得到FG∥BE，故④正确．

解答 解：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，且AB=DE，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠BCD=150°，
∴∠BCE=150°，
在△ACE与△BCD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC=CE}\\{∠ACE=∠BCD=∠BCE}\\{CE=BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD≌△BCE，
∴AE=BD=BE，故①正确，∠DBC=∠EBC，故②正确；
∴∠BEC=∠AEC，∵BE=AE，
∴直线EC⊥AB；故③正确；
在△BCF与△ECG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠ECG}\\{∠CBF=∠CEG}\\{BC=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ECG，
∴BF=EG，
设AE，BD交于H，
∵∠FBC=∠GEC，∠CBE=∠CEB，
∴∠HBE=∠HEB，
∴BH=EH，
∴HF=HG，
∴$\frac{HF}{FB}=\frac{HG}{HE}$，
∴FG∥BE，故④正确，
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．