Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=9，sin∠BAC=$\frac{2}{3}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由圆的性质得OB=OD，再由角平分线的性质得出OD∥BC，由垂直的定义得BC⊥AC，即可得出AC是⊙O的切线；
（2）根据三角函数的定义得出sin∠BAC=$\frac{2}{3}$，再由相似的定义得出△AOD∽△ABC，即可得出半径，过O作OF⊥BC于点F，则OF∥AC，由垂径定理得BE即可．

解答 证明：（1）如图，连接OD，
∵⊙O经过B，D两点，
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠OBD=∠CBD．
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OD⊥AC，
又∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
（2）设⊙O的半径为R，在Et△ABC中，∠ACB=90°，
∵AB=9，sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴BC=$\frac{2}{3}$×9=6
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{OA}{AB}$，即$\frac{R}{6}$=$\frac{9-R}{9}$，
解得：R=3.6
过O作OF⊥BC于点F，则OF∥AC，
∴∠BOF=∠BAC，
∴$\frac{BF}{OB}$=sin∠BOF=$\frac{2}{3}$，
∴BF=$\frac{2}{3}$×3.6=2.4
∴由垂径定理得：BE=2BF=2×2.4=4.8．

点评 本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质，是一道综合性的题目，把切线的判定、垂径定理以及三角函数的定义相结合，是中考的常见题型．