Question

在平面直角坐标系中，直线y=2x+2分别与y轴，x轴交于点A，B两点，在x轴正半轴上取一点C，使OC=OB，以AC为边长在第一象限作正方形ACDE，顶点D恰好在反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象上，如图所示．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）正方形ACDE的AE边的中点是否在上述反比例函数y=

k

x

的图象上？请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）作DH⊥x轴于H，如图，先求出B（-1，0），A（0，2），利用OC=OB得C点坐标为（1，0），再证明△ACO≌△CDH，得到OC=DH=1，CH=OA=2，则可确定D点坐标为（3，1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=3，所以反比例函数解析式为y=

3

x

；
（2）作EG⊥y轴于G，如图，与（1）一样，可证明△ACO≌△EAG，得到OC=AG=1，OA=GE=2，则E点坐标为（2，3），再利用线段中点坐标公式得到AE的中点P的坐标为（1，

5

2

），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断点P不在反比例函数y=

3

x

的图象上．

解答：解：（1）作DH⊥x轴于H，如图，
当y=0时，2x+2=0，解得x=-1，则B（-1，0），
当x=0时，y=2x+2=2，则A（0，2），
∵OC=OB，
∴C点坐标为（1，0），
∵四边形ACDE为正方形，
∴∠ACD=90°，AC=CD，
∴∠ACO+∠DCH=90°，
而∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠DCH，
在△ACO和△CDH中，

∠AOC=∠CHD ∠CAO=∠DCH AC=CD

，
∴△ACO≌△CDH（AAS），
∴OC=DH=1，CH=OA=2，
∴OH=OC+CH=1+2=3，
∴D点坐标为（3，1），
∵顶点D恰好在反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为y=

3

x

；
（2）正方形ACDE的AE边的中点不在上述反比例函数y=

k

x

的图象上．理由如下：
作EG⊥y轴于G，如图，
与（1）一样，可证明△ACO≌△EAG，
∴OC=AG=1，OA=GE=2，
∴OG=OA+AG=2+1=3，
∴E点坐标为（2，3），
而A点坐标为（0，2），
设AE的中点P的坐标为（1，

5

2

），
∵1×

5

2

≠3，
∴点P不在反比例函数y=

3

x

的图象上．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形性质．