Question

11．如图，三角形△ABC中，∠OAB=∠AOB=15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B（6$\sqrt{3}$，0）．OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA+MN的最小值是3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作A关于ZX OC 的对称点D，交x轴于D，过D作DN⊥OA于N交OC于M，则DN=MA+MN的最小值，过A作AE⊥OD于E，推出DN=AE，根据等腰三角形的性质得到AB=OB=6$\sqrt{3}$，由外角的性质得到∠ABD=∠BOA+∠AOB=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：作A关于ZX OC 的对称点D，交x轴于D，
过D作DN⊥OA于N交OC于M，
则DN=MA+MN的最小值，
过A作AE⊥OD于E，
∵OC平分∠AOB，
∴OD=OA，
∴DN=AE，
∵坐标为B（6$\sqrt{3}$，0）．
∴OB=6$\sqrt{3}$，
∵∠OAB=∠AOB=15°，
∴AB=OB=6$\sqrt{3}$，
∵∠ABD=∠BOA+∠AOB=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
∴DN=3$\sqrt{3}$，
∴MA+MN的最小值=3$\sqrt{3}$，
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．