Question

10．如图，抛物线y₁=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点A（4，0）和B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标及抛物线的顶点坐标；
（3）设直线AC的解析式为y₂=mx+n，请直接写出当y₁＜y₂时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A和B的坐标代入函数解析式求得b和c的值，即可求得函数解析式；
（2）在函数解析式中令x=0即可求得C的坐标，然后利用配方法即可确定顶点坐标；
（3）当y₁＜y₂时x的范围就是当二次函数的图象在一次函数的图象的下边时对应的x的范围，依据图象即可确定．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×16+4b+c=0}\\{-\frac{1}{2}+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$．
则抛物线的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；
（2）在y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2中令x=0，则y=-2，
则C的坐标是（0，-2）．
y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）2+$\frac{9}{8}$，
则抛物线的顶点坐标是（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{8}$）；
（3）当y₁＜y₂时，x的取值范围是x＜0或x＞4．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及通过图象确定自变量的范围，考查了数形结合的思想．