Question

20．如图，二次函数y=a（x+1）²+2的图象与x轴交于A，B两点，已知A（-3，0），根据图象回答下列问题．
（1）求a的值和点B的坐标；
（2）设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积；
（3）在抛物线上是否存在点M，使得△MAB的面积等于△PAB的面积的2倍？若存在，求出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）先求出顶点P坐标，即可解决问题．
（3）由S_△MAB=$\frac{1}{2}$×4×|y_M|=2 S_△PAB=8，推出|y_M|=4，∴y_M=±4，再列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）将（-3，0）代入y=a（x+1）²+2，
可得0=4a+2，解得a=-$\frac{1}{2}$；
∵抛物线对称轴方程为x=-1，A、B两点关于对称轴对称，
∴B的坐标为（1，0），

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+2，
∴抛物线的顶点坐标是（-1，2），
∵A（-3，0），B（1，0），
∴AB=X_B-X_A=1-（-3）=4，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

（3）S_△MAB=$\frac{1}{2}$×4×|y_M|=2 S_△PAB=8
∴|y_M|=4，∴y_M=±4，
当y_M=4时，y=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+2=4，无解．
当y_M=-4时，y=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+2=-4，
解得x=-1±2$\sqrt{3}$
∴M（-1+2$\sqrt{3}$，-4）或M（-1-2$\sqrt{3}$，-4）

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，确定函数解析式，学会构建方程解决实际问题，属于中考常考题型．