Question

10．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF=28°，则∠BOE=56°；若∠COF=n°，则∠BOE=2n；∠BOE与∠COF的数量关系为∠BOE=2∠COF．
（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的关系是否仍然成立？如成立，请说明理由．
（3）在图3中，若∠COF=65°，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD+∠AOF=$\frac{1}{2}$（∠BOE-∠BOD）？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：∠FOE=90°-∠COF，由角平分线的性质可求得∠AOE=2∠EOF，所以∠BOE=180°-∠AOE，即可求得答案．
（2）设∠COF=n°，故∠EOF=90°-n，由角平分线的性质即可求得∠AOE=180°-2n°，从而求得∠BOE与∠COF的数量关系．
（3）由（2）可知：∠BOE=2∠COF=130°，进而求得∠AOE=180°-∠BOE=50°，由于OF平分∠AOE，所以∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=25°，分别代入2∠BOD+∠AOF=$\frac{1}{2}$（∠BOE-∠BOD）解得∠BOD即可

解答 解：（1）∵∠COE是直角，∠COF=28°，
∴∠EOF=90°-∠COF=62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF=124°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=56°
若∠COF=n°，
∴∠BOE=2n°，
∴∠BOE=2∠COF，
（2）设∠COF=n°，
∴∠EOF=90°-∠COF=90°-n°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=2n°=2∠COF，
故∠BOE与∠COF的关系是仍然成立．
（3）由（2）可知：∠BOE=2∠COF=130°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=50°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=25°
∵2∠BOD+∠AOF=$\frac{1}{2}$（∠BOE-∠BOD），
∴2∠BOD+25°=$\frac{1}{2}$（130°-∠BOD）
解得：∠BOD=16°
故答案为：（1）56°；2n°；∠BOE=2∠COF

点评 本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，能表示出各个角之间的关系是解此题的关键．