Question

已知二次函数y=x²-2bx+c的图象与x轴只有一个交点．
（1）请写出b、c的关系式；
（2）设直线y=7与该抛物线的交点为A、B，求AB的长；
（3）若P（a，-a）不在曲线y=x²-2bx+c上，请求出b的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个交点，则b²-4ac=0，由此可得到b、c应满足关系；
（2）根据根与系数的关系x₁+x₂=2b，x₁x₂=c-7，结合b²=c，即可求得AB的长．
（3）由题意可知方程-x=x²-2bx+c没有实数根，根据根的判别式即可求得．

解答：解：（1）∵二次函数y=x²-2bx+c的图象与x轴只有一个交点，
令y=0得：x²-2bx+c=0，
∵△=（-2b）²-4c=0，
∴b²=c．
（2）设A（x₁，0），B（x₂，0），
∵直线y=7与抛物线的交点A、B的横坐标就是方程x²-2bx+c-7=0的两个根x₁、x₂．
∴AB=|x₁-x₂|，
∵x₁+x₂=2b，x₁x₂=c-7，b²=c．
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(2b)2-4(c-7)

=

4b2-4c+28

=

28

=2

7

．
（3）P（a，-a）不在曲线y=x²-2bx+c上，
∴直线y=-x与曲线y=x²-2bx+c没有交点，
即方程-x=x²-2bx+c没有实数根，
∴x²+（1-2b）x+c=0的△＜0，
即（1-2b）²-4c＜0，
整理得，1-4b+4b²-4c＜0，
∵b²=c．
∴1-4b＜0，
∴b＞

1

4

．

点评：本题是二次函数的综合题型，主要考查了根的判别式，二次函数与直线的交点问题，二次函数与不等式的关系，题目的综合性较强，难度不小，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．