Question

13．如图，直线y=kx-2与x轴、y轴分别交于B、C两点，OB：OC=$\frac{1}{2}$．
（1）求B点的坐标和k的值．           
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-2上的一个动点，当点A运动过程中，
①试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
②探索：当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是2；
③在②成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于直线解析式，分别令x与y为0求出对应y与x的值，表示出OB与OC，根据已知等式确定出k的值，即可求出B的坐标；
（2）①过A作AD垂直于x轴，可得AD为三角形AOB的高，根据三角形面积公式列出S与x的关系式即可；
②令S=2，求出x的值，确定出A的坐标即可；
③在②成立的情况下，x轴上存在一点P，使△POA是等腰三角形，如图所示，分别求出P的坐标即可．

解答 解：（1）对于直线y=kx-2，
令x=0，得到y=-2，即C（0，-2）；令y=0，得到x=$\frac{2}{k}$，即B（$\frac{2}{k}$，0），
由OB：OC=$\frac{1}{2}$，得到$\frac{2}{k}$=$\frac{1}{4}$，
解得：k=2，即B（1，0）；
（2）①过A作AD⊥x轴，垂足为D，由题意得：A（x，2x-2），即AD=2x-2，
则△AOB的面积S与x的函数关系式S=$\frac{1}{2}$×1×（2x-2）=x-1；
②令S=2，得到x-1=2，即x=3，
把x=3代入得：2x-2=6-2=4，即A（3，4）；
③在②成立的情况下，x轴上存在一点P，使△POA是等腰三角形，如图所示，
分四种情况考虑：
当OA=OP₁=5时，P₁（-5，0）；
当AP₂=OP₂时，P₂为线段OA垂直平分线与x轴的交点，
由A（3，4），得到OA中点坐标为（1.5，2），且垂直平分线方程为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{25}{8}$，
令y=0，得到x=$\frac{25}{6}$，此时P₂（$\frac{25}{6}$，0）；
当OP₃=OA=5时，P₃（5，0）；
当OA=AP₄=5时，由AD⊥OP₄，得到D为OP₄的中点，即OP₄=2OD=6，此时P₄（6，0），
综上，P的坐标为（-5，0）；（$\frac{25}{6}$，0）；（5，0）；（6，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．