如图1.平面直角坐标系xOy中.点D.OC=8.若抛物线y=$\frac{1}{3}$x2平移后经过C.D两点.得到图1中的抛物线W．(1)求抛物线W的表达式及抛物线W与x轴另一个交点A的坐标,(2)如图2.以OA.OC为边作矩形OABC.连结OB.若矩形OABC从O点出发沿射线OB方向匀速运动.速度为每秒1个单位得到矩形O′A′B′C′.求当点O′落在抛物线W上时矩形的运动时间,的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图1，平面直角坐标系xOy中，点D（-4，0），OC=8，若抛物线y=$\frac{1}{3}$x²平移后经过C，D两点，得到图1中的抛物线W．

（1）求抛物线W的表达式及抛物线W与x轴另一个交点A的坐标；
（2）如图2，以OA，OC为边作矩形OABC，连结OB，若矩形OABC从O点出发沿射线OB方向匀速运动，速度为每秒1个单位得到矩形O′A′B′C′，求当点O′落在抛物线W上时矩形的运动时间；
（3）在（2）的条件下，如图3，矩形从O点出发的同时，点P从A′出发沿矩形的边A′B′→B′C′以每秒$\frac{2}{5}$个单位的速度匀速运动，当点P到达C′时，矩形和点P同时停止运动，设运动时间为t秒．
①请用含t的代数式表示点P的坐标；
②已知：点P在边A′B′上运动时所经过的路径是一条线段，求点P在边A′B′上运动多少秒时，点D到CP的距离最大．

分析（1）依题意得：D（-4，0），C（0，-8），根据待定系数法可求抛物线w的解析式，进一步得到抛物线w的另一交点；
（2）解法一：依题意：在运动过程中，经过t秒后，点O′的坐标为：（$\frac{3}{5}$t，-$\frac{4}{5}$t），将O′代入y=$\frac{1}{3}$（x-1）²-8$\frac{1}{3}$，解方程即可求解；
解法二：射线OB′解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x，联立抛物线w的解析式，解方程组即可求解；
（3）①设P（x，y），分两种情况：（I）当0≤t≤20时，即点P在A′B′边上；（II）当20＜t≤35时，即点P在B′C′边上（不包含B′点）；进行讨论即可求解；
②分两种情况：当点P在A′B′运动时，0≤t≤20；当CP⊥AP时，CP取得最小值；进行讨论即可求解．

解答解：（1）依题意得：D（-4，0），C（0，-8），
设抛物线w的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x+m）²+n，则
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}（-4+m）^{2}+n=0}\\{\frac{1}{3}{m}^{2}+n=-8}\end{array}\right.$，
解得m=-1，n=-8$\frac{1}{3}$．
故抛物线w的解析式为：y=$\frac{1}{3}$（x-1）²-8$\frac{1}{3}$，
另一交点为（1+1-（-4），0），即（6，0）；
（2）解法一：依题意：在运动过程中，
经过t秒后，点O′的坐标为：（$\frac{3}{5}$t，-$\frac{4}{5}$t），
将O′代入y=$\frac{1}{3}$（x-1）²-8$\frac{1}{3}$，
舍去负值得：t=$\frac{20}{3}$，
经过$\frac{20}{3}$秒O′落在抛物线w上．
解法二：射线OB′解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$．
∴O′（4，-$\frac{16}{3}$），
∴OO′=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{16}{3}）^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
∴经过$\frac{20}{3}$秒O′落在抛物线W上；
（3）①设P（x，y），
（I）当0≤t≤20时，即点P在A′B′边上，A′P=$\frac{2}{5}$t，A′（6+$\frac{3}{5}$t，-$\frac{4}{5}$t），
∴x=6+$\frac{3}{5}$t，y=-$\frac{6}{5}$t；
（II）当20＜t≤35时，即点P在B′C′边上（不包含B′点），
B′P=$\frac{2}{5}$t-8，B′（6+$\frac{3}{5}$t，-8-$\frac{4}{5}$t），
∴x=$\frac{1}{5}$t+14，y=-8-$\frac{4}{5}$t．
综上所述：当0≤t≤20时，P（6+$\frac{3}{5}$t，-$\frac{6}{5}$t）；当20＜t≤35时，P（$\frac{1}{5}$t+14，-8-$\frac{4}{5}$t）；
②如图：

当点P在A′B′运动时，0≤t≤20，
点P所经过的路径所在函数解析式为：y=-2x+12，
又∵直线CD解析式为：y=-2x+8，
∴DC∥AP，
∴△DCP面积为定值，
∴CP取得最小值时，点D到CP的距离最大；
如图，

当CP⊥AP时，CP取得最小值
过点P作PM⊥y轴于点M，则∠PMC=90°
∵P（6+$\frac{3}{5}$t，-$\frac{6}{5}$t），
∴CM=8-$\frac{6}{5}$t，PM=6+$\frac{3}{5}$t，
∵∠DCO+∠PCM=90°，
∠CPM+∠PCM=90°
∴∠CPM=∠DCO，
∴tan∠CPM=tan∠DCO=$\frac{1}{2}$，
在Rt△PMC中，∠PMC=90°
∴PM=2CM，
∴t=$\frac{10}{3}$，
检验：0≤$\frac{10}{3}$≤20，
∴经过$\frac{10}{3}$秒时，点D到CP的距离最大．