Question

11．数学活动课上，某学习小组对有一内角（∠BAD）为120°的平行四边形ABCD，将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．
（1）初步尝试
如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；
（2）类比发现
如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；
（3）深入探究：在（2）的条件下，学习小组某成员探究发现AE+2AF=$\sqrt{3}$AC，试判断结论是否正确，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①首先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，根据ASA即可证明．
②利用①中结论，即可证明．
（2）首先利用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形，再证明△ACE∽△HCF，即可推出$\frac{AE}{FH}$=$\frac{AC}{CH}$=2．
（3）利用代数法证明，如图2中，由（2）可知，设FH=α，则AE=2a，设AH=x，则AH=3x，易知AC=2$\sqrt{3}$x，AF=3x-a，即可得出AE+2AF=2a+2（3x-a）=6x=$\sqrt{3}$AC．

解答 （1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD=120°，
∴∠D=∠B=60°，
∵AD=AB，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，
∵∠BCF=60°，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CAF}\\{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF．

②如图1中，∵△BCE≌△ACF，
∴BE=AF，
∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．
∴AE+AF=AC．

（2）证明：如图2中，设DH=x，由题意CD=2x，CH=$\sqrt{3}$x．
∴AD=2AB=4x，AH=AD-DH=3x，
∵CH⊥AD，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴AC²+CD²=16x²，AD²=16x²，
∴AC²+CD²=AD²，
∴∠ACD=90°，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACH=60°，
∵∠ECF=60°=∠ACH，
∴∠HCF=∠ACE，
∴△ACE∽△HCF，
∴$\frac{AE}{FH}$=$\frac{AC}{CH}$=2，
∴AE=2FH．

（3）结论正确．
理由：如图2中，由（2）可知，设FH=α，则AE=2a，设HC=$\sqrt{3}$x，则AH=3x，
易知AC=2$\sqrt{3}$x，
∴AF=3x-a，
∴AE+2AF=2a+2（3x-a）=6x=$\sqrt{3}$AC．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．