Question

12．已知，如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的平分线，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
求证：
（1）四边形AECF是矩形；
（2）MN与BC的位置有何关系，证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据CE、CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线得到∠ECF=90°，然后根据AE⊥CE，AF⊥CF，得到∠AEC=∠AFC=90°，利用三个角是直角证得四边形AECF是矩形；
（2）根据矩形的性质得到内错角相等即可证得两条直线平行．

解答 证明：（1）如图所示，∵CE、CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠3=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACD）=90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是矩形；

（2）答：MN∥BC．
∵四边形AECF是矩形，
∴EF=AC，EN=$\frac{1}{2}$EF，NC=$\frac{1}{2}$AC，
∴EN=NC，
∴∠2=∠5，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠5，
∴MN∥BC．

点评 本题考查了矩形的判定、平行线的判定的知识，解题的关键是了解矩形的几个判定定理，难度不大．