题目内容

如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，6），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把AP绕着点A按逆时针方向旋转60°得到AD，连PD和BD．
（1）求B点坐标和直线AB的解析式．
（2）求证：OP=BD，并求出当点P运动到点（2，0）时点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于
3
2
？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=3，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．
（2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．OP=BD，过点D作DH⊥x轴于H，延长EB交DH于G，则BG⊥DH，在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BDcos60°，DG=BDsin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．
（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：
①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．
②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即-2
3
＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．
③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤-2
3
时，方法同②．
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．
解答：解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，由题意可知
BF=OE=3，OF=
42-22
=2
3
，
∴点B（3
3
，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A（0，6），B（3
3
，3）代入，得
b=6
3
3
k+b=3
，
解得
k=-
3
3
b=6
．
∴直线AB的解析式为y=-
3
3
x+6；

（2）如图1，∵AP绕着点A按逆时针方向旋转60°得到AD，
∴AP=AD，∠DAP=∠BAO，
∴∠OAP=∠BAD，
在△AOP与△ABD中，
AP=AD
∠OAP=∠BAD
AO=AB
，
∴△AOP≌△ABD（SAS），
∴OP=BD，
过点D作DH⊥x轴于H，延长EB交DH于G，则BG⊥DH，
在RT△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，
∴BG=
1
2
BD=
1
2
OP=1，DG=
3
BG=
3
，
∴OH=OF+FH=OF+BG=3
3
+1，DH=DG+OE=3+
3
，
∴点D的坐标为（3
3
+1，3+
3
），

（3）假设存在点P，使△OPD的面积等于
3
2
，
①当t＞0时，如图1，∵BD=OP=t，DG=
3
2
t，
∴DH=3+
3
2
t，
∵△OPD的面积等于
3
2
，
∴
1
2
t（3+
3
2
t）=
3
2
，
解得t1=-
3
+
5
，t2=-
3
-
5
（舍去），
∴点P的坐标（-
3
+
5
，0）；
②当-2
3
＜t≤0时，如图2，∵BD=OP=-t，BG=-
3
2
t，
∴DH=GF=3-（-
3
2
t）=3+
3
2
t，
∵△OPD的面积等于
3
2
，∴-
1
2
t（3+
3
2
t）=
3
2
，
解得：t3=-
3
+1，t4=-
3
-1，
∴点P的坐标为（-
3
+1，0），（-
3
-1，0），
③当t≤-2
3
时，如图3，∵BD=OP=-t，DG=-
3
2
t，
∴DH=-
3
2
t-3，
∵△OPD的面积等于
3
2
，
∴-
1
2
t（-
3
2
t-3）=
3
2
，
解得：t5=-
3
+
5
，（舍去），t6=-
3
-
5
，
∴点P的坐标为（-
3
-
5
，0），
综上，存在点P，使△OPD的面积等于
3
2
，点P的坐标为P1（-
3
+
5
，0），P2（-
3
+1，0），P3（-
3
-1，0），P4（-
3
-
5
，0）；
点评：本题综合考查的是一次函数的应用，包括待定系数法求解析式、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、三角形面积公式的应用等，难度较大．
练习册系列答案
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（1）求证：AC=BD；
（2）求∠APB的度数；
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，∠APB的大小为
 
．
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y
2
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，a的绝对值是
 
．

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