Question

5．如图，在边长为10的正方形ABCD中，△PAQ是正三角形，求PB的长．

Answer 1

分析 设PB=x，根据正方形以及等边三角形的性质求出PQ与PC的表达式，然后利用勾股定理列出方程求出x的值．

解答 解：设PB=x，
∴PC=10-x，
由题意可知：AD=AB，AQ=AP
在Rt△AQD与Rt△APB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AP}\\{AD=AB}\end{array}\right.$
∴Rt△AQD≌Rt△APB（HL）
∴DQ=PB=x，
∴CQ=10-x，
在Rt△APB中，AP²=100+x²，
在Rt△CQP中，AP²=CQ²+PC²，
∴100+x²=2（10-x）²
化简：x²-40x+100=0，
解得：x=20±10$\sqrt{3}$，
∵x＜10，
∴PB=x=20-10$\sqrt{3}$

点评 本题考查正方形以及等边三角形的性质，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法．