Question

4．在Rt△ABC中，∠CAB=α，斜边AB绕点B顺时针旋转2α角度得到DB，交AC于点E，连接AD，记AD=kBE．
（1）用a的代数式表示∠DAE，并直接写出∠DAE与∠CBE之间的一个等式；
（2）当α=15°时，求k的值；
（3）当k=1时，求α的值．

Answer 1

分析 （1）直接用等腰三角形和直角三角形的性质表示出∠DAE=90°-2α，∠CBE=90°-3α，即可得出结论．
（2）作BF⊥AD于F，如图，由旋转的性质得BA=BD，∠ABD=2α，则根据等腰三角形的性质得到BF⊥AD，BF平分∠ABD，AF=DF，再利用“AAS”证明△ABC≌△ABF，得到AF=BC，即可得出AD=2BCM，在Rt△BCE中，得出BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，即可得出结论；
（3）借助（1）（2）的结论，得出BE=2BC，根据正弦的定义可计算出∠CBE=60°，即可得出结论．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB=α，
∴∠ABC=90°-α，
∵∠ABD=2α，
∵AB=BD，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABD）=90°-α，
∴∠DAE=∠DAB-∠BAC=90°-α-α=90°-2α
∵∠CBE=90°-α-2α=90°-3α；
∴3∠DAE-2∠CBE=90°，
（2）作BF⊥AD于F，如图，
∵边AB绕点B按顺时针方向旋转2α得到DB，
∴BA=BD，∠ABD=2α，
∴BF⊥AD，BF平分∠ABD，AF=DF=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠ABF=α，
在△ABC和△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠AFB}\\{∠BAC=∠ABF}\\{AB=BA}\end{array}\right.$
，∴△ABC≌△ABF（AAS），
∴AF=BC，
∴AD=2AF=2BC
当α=15°时，∠CBE=90°-3α=45°，
在Rt△BCE中，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，
∴AD=2BC=$\sqrt{2}$BE，
∵AD=kBE，
∴k=$\sqrt{2}$，
（3）当k=1时，AD=BE，
由（2）知，AD=2BC，
∴BE=2BC，
在Rt△BCE中，cos∠CBE=$\frac{BC}{BE}=\frac{1}{2}$，
∴∠CBE=60°，
由（1）知，∠CBE=90°-3α=60°
∴α=10°．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和公式，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解本题的关键是得出 AD=2BC．