Question

5．已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F．

（1）如图1，连接AF，若AB=4，BE=1，求AF的长；
（2）如图2，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，求证：AG=$\sqrt{2}$CG．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出BC=CD=AD=AB=4，∠ABE=∠C=∠D=90°，AC⊥BD，∠ABO=45°，证出∠BAE=∠CBF，由ASA证明△BCF≌△ABE，得出CF=BE=1，因此DF=CD-CF=3，由勾股定理求出AF即可；
（2）证明A、B、G、O四点共圆，由圆周角定理得出∠AGO=∠ABO=45°，求出∠FGO=453，即可得出结论；
（3）连接EF，证明C、E、G、F四点共圆，由圆周角定理得出∠EFC=∠EGC=45°，证出△CEF是等腰直角三角形，CE=CF，同（1）得：△BCF≌△ABE，得出CF=BE，因此CE=BE=$\frac{1}{2}$BC，得出OA=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$CE，由（1）得：A、B、G、O四点共圆，由圆周角定理得出∠BOG=∠BAE，证出∠GOA=∠GEC，得出△AOG∽△CEG，由相似三角形的对应边成比例得出$\frac{AG}{CG}=\frac{OA}{CE}$=$\sqrt{2}$，即可得出结论．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AD=AB=4，∠ABE=∠C=∠D=90°，AC⊥BD，∠ABO=45°，
∴∠ABG+∠CBF=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠ABG+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△BCF和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠ABE}&{\;}\\{BC=AB}&{\;}\\{∠CBF=∠BAE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ABE（ASA），
∴CF=BE=1，
∴DF=CD=CF=3，
∴AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5；
（2）证明：∵AC⊥BD，BF⊥AE，
∴∠AOB=∠AGB=∠AGF=90°，
∴A、B、G、O四点共圆，
∴∠AGO=∠ABO=45°，
∴∠FGO=90°-45°=45°=∠AGO，
∴GO平分∠AGF；
（3）证明：连接EF，如图所示：
∵CG⊥GO，
∴∠OGC=90°，
∵∠EGF=∠BCD=90°，
∴∠EGF+∠BCD=180°，
∴C、E、G、F四点共圆，
∴∠EFC=∠EGC=180°-90°-45°=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=CF，
同（1）得：△BCF≌△ABE，
∴CF=BE，
∴CE=BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{2}$CE，
由（1）得：A、B、G、O四点共圆，
∴∠BOG=∠BAE，
∵∠GEC=90°+∠BAE，∠GOA=90°+∠BOG，
∴∠GOA=∠GEC，
又∵∠EGC=∠AGO=45°，
∴△AOG∽△CEG，
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{OA}{CE}$=$\sqrt{2}$，
∴AG=$\sqrt{2}$CG．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要证明四点共圆和三角形相似才能得出结论．